Représentation polaire

 

Représentation polaire

 

Je ne suis pas un expert en programmation et je ne connais que peu de languages informatiques. Par contre, je maitrise à peu près le logiciel MatLab qui est un logiciel de calcul scientifique qui a pour vocation de manipuler des matrices. Après tout, une image n'est rien de plus qu'une grosse matrice donc ce logiciel me semblait tout à fait approprié. Un petit bémol quand même, ce logiciel coute très cher et j'ai pu y accéder grace aux licenses que détenait mon école.

Rentrons maintenant dans le vif du sujet:

  1. La représentation polaire en couleur
  2. Les zones de potentiel de portance d'un boomerang
  3. Conclusion

 

 

 

 


 

La représentation polaire en couleur

 

Ce qui connaissent Ultimatrix comprendront rapidement de quoi il s'agit. Pour les autres voici un exemple qui aidera à mieux comprendre:

CI_equerre.jpg

Voici un boomerang de type "Equerre", la couleur ne représente rien, c'est juste pour faire joli et ça servira de repère plus tard. Si l'on considère un boom pour droitier et qu'on le regarde de dessus alors celui-ci tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Vu de l'extérieur, le boomerang tourne dans l'air dans ce sens. Mais si on s'imagine assis sur le boomerang alors on verrait l'air tourner dans le sens inverse, c'est juste une histoire de référentiel.

Le point G est le centre d'intertie du boomerang (on le confond très souvent avec le centre de gravité qui est le point d'application de la pesanteur, mais très souvent ces 2 points sont très proches). Le centre d'inertie ne dépend que de la façon dont est répartie la masse dans le boomerang. On fera l'hypothèse que celle-ci est répartie de façon uniforme.

Remarque: Ultimatrix permet de travailler avec des plombages représentés par des couleurs. Je n'ai pas souhaité intégrer cette fonction à mon programme pour l'instant.

Le boomerang tourne donc autour de son centre d'inertie. Le cercle en noir incomplet sur la figure ci-dessous, représente le cercle balayé. Il est tangent à la pale la plus éloignée de G. Dans notre cas, la forme étant symétrique; le cercle balayé est tangent aux 2 pales.

Le petit cercle autour de G représente une zone dans laquelle on ne trouvera jamais de matière quand on fait tourner le boomrang. Dans Ultimatrix, cette zone est appelée "Zone Zéro Portance". On reprendra cette notation par la suite.

Imaginons maintenant que l'on se place au centre d'inertie du boom et que l'on troune sur soit même en faisant un tour complet (c'est à dire 360°). Suivant l'angle auquel on se trouve, on verrait plus ou moins de matière qui serait plus ou moins éloignée. C'est exactement ce que l'on obtient avec la représentation polaire. Voici la représentation polaire correspondant à la forme ci-dessus:

polaire_equerre_axes.jpg

L'axe des abscisses représente l'éloignement d'un point par rapport au centre d'inertie. Cette échelle est notée en % car on compare l'éloignement d'un point par rapport à l'éloignement du point le plus éloigné. On remarque qu'il n'y a pas de matière dans la zone d'éloignement 0% à 8% environ. Cette zone correspond bien sûr à la ZZP (Zone Zéro Portance).

L'un des grands intérêts des cette représentation est que l'air s'écoule maintenant de bas en haut plutôt que de tourner autour du boomerang. On voit bien comment il rencontre chaque pale et quelle est l'importance relative du coude par rapport aux pales.

Voici d'autres exemples pour mieux se rendre compte:

Fantasy 22 - Georgi Dimantchev
CI_fantasy_22.jpg Voici le boomerang avec son centre d'inertie, sa ZZP et son cercle balayé.
polaire_fantasy_22.jpg Et voici sa représentation polaire. On remaqrue que la petite pale en bleu est quasiment aussi éloigné du centre d'inertie que les 2 pales principales.

 

Aspic 2 - Didier Bonin
CI_mta_aspic2.jpg La ZZP est toute petite autour du centre d'inertie. On ne voit qu'une toute petite partie du cercle balayé.
polaire_mta_aspic2.jpg Et voici sa représentation polaire.

 

Karma III - Jérôme Royo
CI_karma_3.jpg Ici pas de ZZP, la forme est pleine. Le centre d'inertie est le point gris au centre.
polaire_karma_3.jpg Et voici sa représentation polaire.

 

Ces quelques exemples permettent de mieux comprendre comment fonctionne la représentation polaire. Dans certains, il est possible de mieux se rendre compte de l'influence relative des pales.

 


 

Les zones de potentiel de portance d'un boomerang

On peut très facilement faire l'analogie entre une pale de boomerang et une aile d'avion. Lorsqu'une aile d'avion avance dans l'air, sa forme dévie l'écoulement autour d'elle si bien que l'air au dessus de l'extrado est accéléré ce qui crée une depression. L'aile est aspirée vers le haut est porte. Cette explication (assez simplifiée) s'applique également au boomerang.

Petit schéma et formules mathématiques:

portance.jpg

La force F est la somme de la force de portance Fz et de la force de trainée Fx dont les expressions se trouvent ci-dessous:

equation_portance.jpg

equation_trainee.jpg

Ces deux expressions ne différèrent que d'un coefficient: Cz est le coefficient de portance et Cx est le coeeficient de trainée. S est la surface de l'aile considérée et V est la vitesse de l'écoulement d'air autour de l'aile. Quant à rho (p) il s'agit de la densité de l'air.

Mon idée de départ était de déterminer une échelle de portance à partir de la forme d'un boomerang, c'est à dire identifier les zones qui portent beaucoup et celle qui portent moins. Pour cela, j'ai utilisé la formule de portance ci-dessus que je l'ai appliqué à des "tranches" de pales:

pale_surface.jpg

La surface de cette tranche est S=L*dx. L est la corde du profil et dx une largeur élémentaire (elle correspond à 1 pixel sur les images). Plus cette tranche est loin du centre d'inertie et plus, à vitesse de rotation constante, elle aura une vitesse linéaire grande. Par rapport à la vitesse angulaire, la vitesse linéaire est définie par:

vitesse.gif

 

avec R: distance par rapport au centre d'inertie et omega (w) la vitesse angulaire.



Donc, le coefficient de portance Cz mis à part, la géométrie du boomerang peut permettre de trouver quelles sont les zones qui portent beaucoup et celles qui portent moins.

Pourquoi ai-je donc appelé cette partie "Zones de potentiel de portance" ? La réponse est qu'il manque le coefficient Cz qui lui dépend de la géométrie du profil. Cette information n'apparait pas sur une image car elle est en 2D. Donc une zone de boomerang qui voit une grande vitesse d'écoulement et qui a une grande surface portera beaucoup si son Cz est également élevé.

Ce que j'appelle potentiel de portance est donc le produit: L*R².

Voici ci-dessous le résultat avec le boomerang de type "Equerre":

portance_equerre_echelle.jpg

 Les 2 bouts de pales apparaissent en rouge car ils sont loin du centre d'inertie (L*R² est grand car R² est grand).

On remarque également une zone en arc de cercle rouge au niveau du coude, celle-ci est rouge car L est grand. En effet, si le boomerang tournait simplement sur lui même, l'air suivrait l'arc de cercle rouge sur toute sa longueur. Mais le problème est qu'on ne connait pas la valeur du Cz de cette tranche, il est très probablement plus faible qu'en bout de pale.

Cela permet de faire une autre remarque: le boomerang ne fait pas que tourner sur lui même, il avance en tournant. Du coup, en réalité, l'air ne parcoura pas l'arc de cercle que l'on peut voir.


Voici d'autres exemples sur les mêmes modèles de booms que précédemment:

 

Exemples de représentation de potentiel de portance
portance_fantasy_22.jpg On retouve le même genre d'effet que précédemment: une zone proche du centre d'inertie qui a une grande longueur donc un fort potentiel de portance. La pale du haut a moins d'influence que les 2 autres.
portance_mta_aspic2.jpg Le cas du MTA: il n'y a pas 2 mais 3 zones de fort potentiel de portance...
portance_karma_3.jpg Ce dernier exemple montre l'effet des trous, ceux-ci diminuent la longueur de la surface portante et diminue d'autant le potentiel de portance.

Ce n'est certainement pas la meilleure modélisation possible de l'effet des trous donc il vaut peut-être mieux travailler sur des formes de bases non trouées pour obtenir ce genre de graphiques.

 

 


 

Conclusion

 La représentation polaire permet de représenter une forme de boomerang d'une autre façon. Elle permet de transformer l'écoulement circulaire de l'air autour du boomerang en un écoulement linéaire. On visualise ainsi quelles zones sont rencontrées par l'air dans son écoulement.

Le calcul du potentiel de portance pour chaque zones d'un boomerang permet de visualiser quelles pales porteront beaucoup et celles qui porteront moins. Cependant, comme le calcul dépend de L*R² on peut trouver des zones de grandes longueurs qui "portent" plus qu'une zone en bout de pale. En fait, ce paradoxe peut être levé si l'on considère que ces zones ont un Cz inférieur à cellui de bouts de pales. De plus, il faut aussi prendre en compte le fait que le boomerang avance en tournant, chose qui n'est pas modélisée ici.

Malgré tout, ce calcul permet très facilement d'identifier les zones pour lesquelles il faudra s'attarder sur les profils. On remarquera notament qu'il n'est pas nécéssaire de profiler tout une pale pour que le boom vole correctement (enfin, en théorie ...).



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